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Nello stesso anno (1826) in cui Olbers si domandò come mai il cielo (di notte) è nero, un matematico russo di nome Nikolaj Ivanovič Lobačevskij pubblicò alcuni teoremi di fondamentale importanza, che nel loro insieme sono considerati il punto d’inizio di un nuovo ramo della geometria. Ecco di che cosa si trattava.

Come è noto più o meno a tutti, la geometria euclidea (quella che si studia nelle scuole) è basata su un metodo molto rigoroso. Essa parte da un certo numero di affermazioni, dette postulati (o assiomi), che sono considerate vere in assoluto; si tratta di solito di proposizioni semplici, delle quali non avrebbe senso dubitare: per un punto passano infinite rette, per due punti non coincidenti passa una e una sola retta, e così via. A partire da tali affermazioni, è possibile ricavarne altre che possono essere dimostrate vere con argomenti puramente logici; proposizioni di questo secondo tipo sono dette teoremi. Una volta stabilito che un teorema è vero, esso può essere utilizzato per dimostrare altri teoremi.

Vorrei che al lettore fosse chiaro che la geometria di Euclide non dice che gli assiomi sono veri. Il fatto che per due punti non coincidenti passi una e una sola retta potrebbe benissimo essere falso, ma supponendo che sia vero, allora sono veri i teoremi. Questo significa che i teoremi sono veri senz’altro, e la loro verità non dipende dal fatto che siano veri i postulati. Mi rendo conto che questo è un punto non facilissimo da capire. Per fare un esempio: la sera, prima di andare a dormire, dico a mio figlio di dodici anni: se domani mattina piove, prendi l’ombrello quando esci per andare a scuola. Io in realtà non so se domani mattina pioverà, non ho neppure guardato le previsioni del tempo. Il punto è che io non ho detto a mio figlio di prendere l’ombrello, oppure di non prenderlo; gli ho detto che se pioverà, allora sarà il caso che prenda l’ombrello, e questo è vero sia che piova, sia che non piova. C’è un teorema di geometria piana che afferma che la somma degli angoli interni di un triangolo qualsiasi è pari a 180°. Questo è vero se sono veri i postulati di Euclide, altrimenti è falso. Supponiamo di misurare gli angoli interni di un triangolo, e di scoprire che la loro somma è, per esempio, minore di 180°. Questo renderebbe falso il teorema? Assolutamente no, significherebbe soltanto che nel mondo reale uno degli assiomi di Euclide non è valido (più avanti vedremo esattamente quale). la struttura logica di un teorema è del tipo: se sono veri i postulati A, B, C…, allora è vera l’affermazione X. Nel suo insieme, questa proposizione è necessariamente vera, indipendentemente dal fatto che siano veri i postulati stessi. In sostanza, il teorema non dice assolutamente nulla sul mondo (non sappiamo se sono veri i postulati), ma ammettendo che siano veri, allora se ne deduce X.

Un’affermazione necessariamente vera è detta dai logici una tautologia. Un esempio di tautologia potrebbe essere la seguente: esiste almeno una proposizione falsa. Se tale proposizione esiste, l’affermazione è vera; se non esiste, l’affermazione è falsa, dunque esiste una proposizione falsa.

I postulati trattano di oggetti geometrici che in qualche modo dovrebbero venire definiti, se si vuole essere veramente rigorosi. Se dico che per un punto passano infinite rette, che cosa intendo esattamente con la parola punto? Euclide si pose il problema, e diede delle definizioni degli oggetti geometrici fondamentali. Ad esempio, per Euclide un punto è ciò che non ha parti. La matematica moderna è meno sensibile al problema delle definizioni. In qualche modo, i postulati stabiliscono delle relazioni tra oggetti astratti, che sono definiti dalle relazioni stesse.  Detto in altri termini, quello che è veramente importante è l’universo logico che si crea nel momento in cui vengono enunciati i postulati; è questo universo logico che definisce la geometria (o qualsiasi altro ramo della matematica), visto che dai postulati è possibile dimostrare infiniti teoremi che sono veri per motivi logici.

Tra i postulati di Euclide ce n’è uno in particolare, detto postulato delle parallele, che per più di duemila anni ha dato da pensare ai matematici. postulato_parallelePer definizione, due rette sono parallele se non si incontrano mai. Stando al postulato di Euclide, per un punto esterno a una retta passa un’unica parallela alla retta data. Questo postulato è molto elaborato, rispetto agli altri; in qualche modo richiede una costruzione geometrica: devo prendere una retta, considerare un punto esterno a  essa, prendere in esame tutte le rette che passano per quel punto, dividerle in due classi (quelle che incontrano la retta originale dalla parte destra e quelle che la incontrano dalla parte sinistra) e infine postulare che esiste un’unica retta che separa le due classi. Ben altra faccenda rispetto a dire che per un punto passano infinite rette!

Il problema fu sentito dai successori di Euclide al punto che molti si chiesero se il postulato delle parallele non fosse in realtà un teorema, cioè un’affermazione dimostrabile logicamente a partire dagli altri postulati. I matematici si misero d’impegno, ma per un paio di millenni nessuno riuscì a trovare una dimostrazione. Il momento di svolta (anche se inconsapevole) arrivò nel 1733, quando un gesuita sanremese di nome Girolamo Saccheri pubblicò un libro intitolato Euclides ab omne naevo vindicatus (Euclide liberato da ogni imperfezione).

L’idea di Saccheri era la seguente: immaginiamo che il postulato delle parallele sia falso, e al suo posto utilizziamo un postulato alternativo. Ci sono due possibilità: affermare che per un punto esterno a una retta non passa nessuna parallela alla retta data, oppure che ne passano infinite. Se è vera la geometria euclidea, da qualche parte dobbiamo arrivare a una contraddizione. Se è così, abbiamo dimostrato (anche se in modo contorto) che il postulato delle parallele è implicito nella geometria euclidea, dunque non è un vero postulato. Saccheri espose la questione in modo molto più complicato di così. Vorrei notare, inoltre, che in senso moderno (come si è detto) porsi la domanda se sia “vero” il postulato delle parallele è privo di senso: un postulato non è né vero né falso, al massimo può essere inconsistente se porta a contraddizioni logiche (e questo non è il caso del postulato delle parallele di Euclide). Le dimostrazioni di Saccheri sono pasticciate, e le sue conclusioni inaccettabili rispetto alla nostra visione della matematica. Ad esempio, Saccheri rimase colpito dal fatto che nella geometria da lui costruita la somma degli angoli interni di un triangolo non solo non è pari a 180°, ma dipende dalle dimensioni del triangolo stesso. Egli trovò assurdo questo risultato, ma in effetti non si capisce perché dovrebbe esserlo. Tuttavia, l’opera di Saccheri era nota ai matematici successivi, e li mise per così dire sulla pista giusta.

Il primo che sviluppò l’idea di Saccheri in modo rigoroso fu Carl Friedrich Gauss (1777 – 1855). gaussPrinceps mathematicorum, come fu poi definito, professore all’università di Gottinga, difficile da avvicinare (a quanto si dice) per il suo carattere burbero e scontroso, Gauss è forse il vero padre della matematica moderna. A lui si devono sviluppi fondamentali in numerosi campi della matematica stessa tra cui quello dei numeri complessi, della teoria dei numeri, della fisica e delle geometrie non euclidee, anche se su quest’ultimo punto il Princeps si dimostrò molto prudente. Egli giunse a costruire una geometria completa basata su uno dei postulati alternativi a quello delle parallele di Euclide (per un punto esterno a una retta passano infinite parallele alla retta data), ma non pubblicò i risultati. Temeva le strida dei Beoti, come disse più tardi. Quando Lobačevskij rese pubblici i suoi risultati Gauss si complimentò con lui, anche se alle conclusioni del matematico russo egli stesso era già arrivato qualche anno prima. Un terzo matematico, l’ungherese János Bolyai, costruì una geometria non euclidea basata sullo stesso postulato in modo indipendente dagli altri due, cosicché il merito della scoperta viene oggi attribuito a tutti e tre questi scienziati.

Forse per giustificare la sua fama di princeps mathematicorum, però, Gauss fece un passo più avanti dei suoi colleghi: tentò di misurare empiricamente la somma degli angoli interni del triangolo formato dalle cime di tre montagne, per verificare se essa fosse o meno diversa da 180°. Il professore di Gottinga non aveva nessuna speranza di scoprire che il mondo reale non è euclideo. Come oggi sappiamo, avrebbe dovuto fare la sua triangolazione utilizzando ad esempio tre galassie molto lontane tra loro; tuttavia il tentativo di per sé è notevole, e dimostra quanto lontano riuscisse a guardare la mente di quell’uomo.

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Che cosa sono le geometrie non euclidee? E’ davvero possibile che l’universo fisico non sia euclideo? Queste domande rimasero senza risposta fino a quando non furono costruiti dei modelli in grado, per così dire, di rappresentare le geometrie stesse, e il primo che ci riuscì fu il più grande tra gli allievi di Gauss, Bernhard Riemann (1826 – 1866). Riemann sviluppò l’idea dell’altro possibile postulato alternativo a quello di Euclide, secondo cui non esistono rette parallele (tutte le rette si incontrano). Per certi versi Riemann fu il primo a interpretare il processo assiomatico – deduttivo in senso moderno. Che cos’è una retta? Abbiamo detto che, in fin dei conti, non ci importa: la retta è definita dalle sue relazioni con gli altri enti geometrici fondamentali, relazioni che sono definite dagli assiomi. Nel 1854, durante una conferenza a Gottinga, egli affermò:

È noto che la geometria presuppone, come qualcosa di dato, sia il concetto di spazio, sia i primi concetti fondamentali per le costruzioni nello spazio. Di essi dà soltanto definizioni nominali, mentre le determinazioni essenziali compaiono sotto forma di assiomi[1].

E’ il concetto che ho cercato di spiegare nelle pagine precedenti, ma siccome non sono Riemann ho dovuto spendere qualche parola in più. Proviamo ad applicarlo al problema dei fondamenti della geometria.

Immaginiamo di essere creature bidimensionali, come Paperino e zio Paperone. Abitiamo a Paperopoli, che si può immaginare essere una città di un mondo come il nostro: grossomodo la superficie di una sfera. Per noi non esiste la terza dimensione: tutto il nostro universo è costituito dalla sfera su cui viviamo. E’ chiaro che per noi un punto deve essere per forza un punto appartenente alla superficie della sfera. Possiamo tracciare un segmento di retta sulla carta? Non c’è dubbio che lo possiamo fare: ci basta prendere una matita e disegnarlo. Ma che cos’è esattamente una retta su una superficie sferica? Se non possiamo uscire da tale superficie, qualsiasi linea tracciata su di essa sarà necessariamente una curva!

Quello che ci viene in aiuto è un concetto euclideo: le rette sono i luoghi su cui giacciono i segmenti di lunghezza minima che connettono i punti del piano. Se i nostri punti sono solo punti della superficie sferica, questi segmenti si trasformano in archi, per la precisione in archi di cerchio. Se si accetta questo punto di vista, si può dimostrare che le “rette” della superficie sferica corrispondono ai cerchi formati dall’intersezione della superficie stessa con piani passanti per il centro della sfera. ellitticaIn geometria a tali archi si dà il nome di cerchi massimi. In sostanza: un cerchio tracciato sulla superficie sferica è una “retta” (un cerchio massimo) se e solo se giace su un piano che taglia la sfera in due parti perfettamente uguali. Nel caso delle coordinate geografiche, ad esempio, tutti i meridiani sono cerchi massimi; tra i paralleli, soltanto l’equatore è un cerchio massimo, gli altri no perché non dividono la Terra in due parti uguali[2].

E’ (relativamente) facile rendersi conto che queste definizioni di punto e di retta soddisfano tutti gli assiomi di Euclide, a eccezione del postulato delle parallele: tutte le “rette” che possiamo disegnare su una superficie sferica si incontrano tra loro. E’ noto ad esempio che tutti i meridiani si incontrano ai poli; ogni meridiano, poi, incontra l’equatore in due punti agli antipodi tra loro. (Per gli appassionati di geometria: tutti i piani che definiscono cerchi massimi sulla superficie sferica hanno in comune un punto, che è il centro della sfera; d’altra parte, se due piani hanno in comune un punto devono avere in comune una retta. Tale retta deve per forza incontrare la superficie della sfera in due punti, che sono anche punti di intersezione dei relativi cerchi massimi).

Nel caso della sfera, possiamo facilmente verificare il fatto che sconvolse Saccheri: la somma degli angoli interni di un triangolo non è pari a 180°; in particolare, essa è sempre maggiore di 180°, e tende al valore 180° se il triangolo è molto piccolo. Immaginiamo che la Terra sia una sfera perfetta, ricoperta di carta da disegno. Tracciamo un triangolo con i lati lunghi rispettivamente 3, 4 e 5 centimetri: scopriremo che si tratta di un triangolo rettangolo, ma questo non ha importanza. Con un goniometro, proviamo a misurare i suoi angoli interni: per quanto abili possiamo essere nell’effettuare la misura, certamente troveremo che la loro somma è 180°. A quel punto alzeremo gli occhi, fisseremo l’orizzonte (la sfera perfetta ha un orizzonte piatto, un po’ monotono) e ci sarà subito chiaro che il triangolo che abbiamo disegnato è davvero molto piccolo rispetto al mondo in cui ci troviamo. Triangolo_sfericoAdesso consideriamo il meridiano di Greenwich  (se la terra è tutta coperta di carta da disegno, potrebbe essere difficile che esista la città di Greenwich, ma facciamo finta che il problema non ci sia). Poi prendiamo in esame il meridiano che corrisponde a una differenza oraria di sei ore in avanti rispetto all’ora di Greenwich. Questi due meridiani si incontrano al polo nord formando un angolo di 90°. Consideriamo poi l’equatore terrestre. Come è noto, l’equatore taglia tutti i meridiani ad angolo retto, e questo è vero anche per i nostri due. Eccoci al punto: abbiamo un triangolo sferico i cui angoli interni sono tutti di 90°; la loro somma è 270°, non 180°!

La sfera di Riemann è un esempio (un modello) di come potrebbe funzionare un mondo non euclideo. I matematici parlano di modello (in questo caso) per intendere che la sfera è un oggetto euclideo, ma la sua superficie no. In realtà, il fatto che la superficie di una sfera sia una varietà bidimensionale inserita in uno spazio euclideo a tre dimensioni non è realmente significativo. La comprensione profonda di questo fatto e delle sue implicazioni è uno dei grandi contributi di Riemann alla matematica. Non c’è bisogno della terza dimensione per attribuire una curvatura alla superficie della sfera: tale curvatura può essere considerata una caratteristica intrinseca della superficie, ed è espressa dalle sue proprietà geometriche (in particolare dal fatto che su di essa non vale il postulato euclideo delle parallele).

Che cos’è, esattamente, la curvatura, e come può essere definita? Per un cerchio, la curvatura è semplicemente l’inverso del raggio (quanto più e grande il cerchio, tanto meno esso è curvo, per dirla in parole povere). Nel caso di una curva generica la curvatura varia da punto a punto. Essa può essere definita come la curvatura del cerchio tangente alla curva in ogni punto (i matematici lo chiamano cerchio osculatore). Che cosa succede per una retta (intendo una normale, banale retta su un normale piano euclideo)? In questo caso il raggio del cerchio osculatore è infinito, e la curvatura è nulla.

Nel caso di una superficie, la faccenda si complica. Per definirla, Gauss usò il seguente metodo: Immaginiamo di “affettare” la superficie con una serie di piani che condividono tra loro l’(unica) retta perpendicolare alla superficie stessa in quel punto.I15-84-curvature2 Su tali piani la superficie ritaglierà delle curve (piane), per ciascuna delle quali sarà possibile definire la curvatura nel senso che si è visto. Tra queste curve ce ne sarà una che presenta la curvatura massima, e un’altra che presenta la curvatura minima. La curvatura di Gauss nel punto considerato non è altro che il prodotto di questi valori di curvatura; ad essa viene attribuito il segno positivo, se le due curve stanno dalla stessa banda rispetto alla retta perpendicolare da cui siamo partiti, il segno negativo se stanno da bande opposte.

Nello spazio tridimensionale esiste una superficie che ha curvatura positiva costante; essa non è altro che la sfera. Purtroppo è impossibile costruire una superficie bidimensionale che abbia ovunque la stessa curvatura negativa. I punti a curvatura negativa sono punti di sella, ed è abbastanza evidente che, da qualche parte, la sella deve smettere di essere tale. Questo problema non sussiste nello spazio tridimensionale.

Se Gauss fosse riuscito a verificare anche una minima deviazione dal valore 180° nella somma degli angoli del triangolo formato dai vertici delle sue montagne, noi dovremmo concludere che lo spazio fisico in cui viviamo non è euclideo. Fino ad ora abbiamo preso in esame soltanto una superficie non euclidea. Che cos’è uno spazio tridimensionale non euclideo? La risposta è: la stessa cosa. La curvatura può essere definita per qualsiasi varietà geometrica, indipendentemente dal numero di dimensioni che possiede. L’intuizione di Riemann secondo cui il fatto che la geometria valida per una varietà geometrica non dipende dal fatto che essa esista o meno in uno spazio di dimensioni maggiori in cui essa è inserita, si traduce nel concetto secondo cui la curvatura (di una superficie, di uno spazio tridimensionale ecc.) è una proprietà intrinseca, e la scoperta che essa è diversa da zero non implica che esista uno “spazio più grande” che contiene la varietà considerata.

Riemann spinse molto avanti il ragionamento. riemannIn realtà, possiamo immaginare una superficie (o uno spazio tridimensionale) che in alcuni punti è euclidea, in altri punti è non euclidea nel senso di Gauss Bolyay e Lobačevskij (iperbolica), in altri ancora è non euclidea nel senso di Riemann (ellittica). La geometria differenziale è il ramo della matematica che si occupa di oggetti a geometria variabile. Non posso entrare nel dettaglio; in questa sede l’unica cosa che importa è la seguente: alla metà dell’ottocento i concetti di fondo delle geometrie non euclidee erano perfettamente noti, e i matematici avevano sviluppato metodi per trattare oggetti geometrici non vincolati a un assioma specifico per le parallele. Tali oggetti corrispondono a spazi curvi, anche se (vorrei sottolinearlo ancora una volta) la loro curvatura è una proprietà intrinseca, e non dipende dal fatto che tali spazi siano inseriti in altri spazi con un numero di dimensioni maggiore.

[1] Bernhard Riemann, ipotesi alla base della geometria.

[2] In geometria le linee di minore lunghezza in una certa varietà si definiscono geodetiche. Sulla sfera, le geodetiche sono dunque archi di cerchi massimi. La Terra è approssimativamente sferica, ma per qualche motivo a me ignoto le linee più brevi sul nostro pianeta vengono chiamate lossodromie. Chiunque sia andato in aereo dall’Europa agli Stati Uniti sa che le rotte seguite piegano verso le alte latitudini (rotte polari). Il motivo è che le lossodromie che ci connettono al nord America devono essere archi di cerchi massimi, dunque devono essere inclinate verso nord.