Alla metà del ‘700 l’Inghilterra era un paese in grande espansione, sia dal punto di vista politico che da quello economico. La nascente industriWatt7783a inglese aveva drammaticamente bisogno di macchine, e di fonti di energia che le facessero funzionare; non è un caso se i primi tentativi moderni di realizzare motori a vapore furono tutti inglesi: Savery (1698), Newcomen (1712), Watt (1779). Soprattutto James Watt fece fare un salto impressionante alla tecnologia delle macchine a vapore. Il modello in scala che aveva costruito funzionava perfettamente, ma quando lo realizzò nelle dimensioni reali scoprì che il suo rendimento crollava. Incuriosito rifletté sul problema, e scoprì che il difetto (nel suo prototipo, ma anche nella macchina di Newcomen) era l’assenza di una camera di condensazione.

Detto così potrebbe sembrare un dettaglio ingegneristico, ma fu l’avvio di una nuova scienza, i cui concetti fondamentali  furono sviluppati nell’arco del XIX secolo da grandi personaggi come Sadi Carnot (1796 – 1832), Rudolf Clausius (1822 – 1888), William Thomson (lord Kelvin, 1824 – 1907) e altri. Alla fine dell’ottocento la termodinamica, nata per esigenze meramente pratiche, costituiva un nuovo ramo della fisica, e gettava una strana luce sui meccanismi di fondo del mondo in cui viviamo; così strana che il massimo teorico che se ne occupò, Ludwig Boltzmann (1844 – 1906) fu attaccato da molti dei suoi colleghi per le sue idee considerate stravaganti, e finì col suicidarsi[1].

L’aspetto che riguarda direttamente l’argomento di fondo di questi articoli è il cosiddetto secondo principio della termodinamica, e la legge ad esso strettamente collegata dell’aumento dell’entropia. Per definire il concetto termodinamico di entropia dovrei scrivere un trattato di fisica, e non lo voglio assolutamente fare; cercherò quindi di utilizzare un altro punto di vista, più generale. Dovrò fare una digressione, ma spero che chi legge mi perdonerà.

La fisica classica, emersa dal lavoro di decine di scienziati di grandissimo valore nel periodo compreso tra l’ipotesi eliocentrica di Copernico e la relatività di Einstein, si fonda su due pilastri concettuali:

  • Le leggi fisiche sono deterministiche. Questo significa che, noto che sia lo stato di un sistema fisico in un determinato istante, se conosciamo le forze che agiscono su di esso possiamo prevedere quale sarà lo stato del sistema stesso in ogni istante successivo.
  • Le leggi fisiche sono reversibili. Conoscendo lo stato del sistema, possiamo stabilire con assoluta precisione (almeno in linea di principio) in che stato si trovava il sistema stesso in ogni istante del passato. Questo concetto viene espresso, a volte, dicendo che l’informazione fisica si conserva.

Gli aspetti 1) e 2) non sono equivalenti. C’è un esempio di Susskind[2] che mi sembra il caso di riportare. Immaginiamo un sistema che può assumere gli stati A, B, C e D. Stati irreversibiliNon è importante stabilire a che cosa corrispondano; diciamo che l’evoluzione del sistema è tale per cui allo stato A segue lo stato B, a B segue C, a C segue D e a D segue B. Lo stato che assumerà il sistema è sempre determinato dal suo stato attuale, dunque il sistema è deterministico: se in un certo istante si trova nello stato B, sappiamo con certezza che nell’istante successivo si troverà nello stato C;. Tuttavia il sistema stesso non conserva l’informazione (non è reversibile). Se in un certo istante si trova nello stato B, non possiamo sapere se nell’istante precedente si trovava in A o in D. Il mondo fisico non soffre di questo difetto: esso appare del tutto reversibile.

La reversibilità ha una curiosa conseguenza: dal punto di vista fisico il tempo non ha una direzione precisa; esso scorre, ma non esiste un passato nettamente e chiaramente distinto dal futuro. Possiamo vedere questo concetto in azione in molti modi. Luigi mostra a Mario uno spezzone di filmato, in cui appare una molla che oscilla nel vuoto (in assenza di attrito). Dopo avergli mostrato le immagini Luigi chiede a Mario se, a suo parere, il film è stato proiettato nella direzione giusta oppure dall’ultimo fotogramma al primo. Mario deve ammettere che non ha nessun modo per rispondere alla domanda: la molla oscilla esattamente nello stesso modo dal passato verso il futuro o dal futuro verso il passato. Luigi avrebbe potuto utilizzare anche la ripresa, effettuata da una sonda spaziale, di un remoto pianeta che orbita intorno alla sua stella; anche in questo caso, le traiettorie sono indistinguibili.

In generale si può dire che, dal punto di vista classico, tutti i fenomeni semplici sono reversibili; invertendo la direzione del tempo, l’evoluzione “all’indietro” dei sistemi è sempre compatibile con le leggi della fisica: il tempo scorre, ma non è dato di sapere in quale direzione lo faccia. Come mai allora la nostra intuizione ci porta a distinguere con chiarezza tra passato e futuro? E’ vero che nella stragrande maggioranza dei casi i fenomeni a cui assistiamo quotidianamente sono incredibilmente più complessi dell’oscillazione di una molla o della rotazione di un pianeta, tuttavia sembrerebbe naturale immaginare che tali fenomeni complessi siano riducibili a fenomeni semplici, ciascuno dei quali è reversibile. Da dove viene l’irreversibilità del tempo? E’ solo un aspetto psicologico?

Che non sia così è abbastanza evidente. Per vendicarsi dei test che Luigi ha fatto su di lui, Mario gli mostra un filmato in cui si vede un uovo che rotola sul piano di un tavolo. Nel momento in cui raggiunge il bordo, l’uovo precipita e cade per terra rompendosi. Luigi deve ammettere che in questo filmato la direzione del tempo è assolutamente definita; proiettato a rovescio, esso avrebbe mostrato un uovo rotto che per magia si ricompone, per poi saltare esattamente fino all’altezza del piano del tavolo e rotolarci sopra: un evento impossibile. Che cosa c’è nell’uovo che si rompe che non è descritto dalla fisica di base? Se le leggi fisiche fondamentali sono tutte reversibili, da dove nasce l’irreversibilità che continuamente ci circonda, quella che ci fa distinguere in modo assoluto il passato dal futuro, l’uovo intero dall’uovo rotto? Qui entra in scena Boltzmann ma, come ho detto, se riportassi i ragionamenti del grande fisico austriaco nessuno più mi capirebbe. Facciamo quindi un altro esempio.

Immaginiamo un tavolo su cui sono disposte cento monete, tutte con la faccia testa verso l’alto; sopra il tavolo mettiamo un meccanismo che periodicamente colpisce il piano facendolo oscillare in modo che a ogni colpo alcune monete saltano via in modo casuale, poi filmiamo la scena. All’inizio, come si è detto, tutte le monete sono testa. Dopo il primo colpo, tre monete sono saltate e una di esse presenta la faccia croce. Al secondo colpo saltano cinque monete: tre ricadono come testa, e due come croce, e così via. Dopo un certo numero di colpi, circa la metà delle monete saranno testa, le altre croce. Da quel momento in poi il numero di teste e croci cambia continuamente, ma non si allontana mai troppo dall’equipartizione. Possiamo dedurre la direzione del tempo riesaminando il filmato? Certamente!

La configurazione in cui tutte le monete presentano la faccia testa verso l’alto è estremamente improbabile. Quando si orientano in modo casuale, ciascuna moneta ha una probabilità ½ di presentare la faccia testa. Se abbiamo 100 monete, la probabilità che siano tutte testa è ½ elevato alla 100: un numero piccolissimo (circa 1 diviso 7 x 10-31). In sostanza, distinguiamo tra passato e futuro perché nel filmato osserviamo il sistema (l’insieme delle monete) passare da uno stato estremamente improbabile a uno molto probabile (circa metà delle monete con la testa verso l’alto); è solo nel corso di questo passaggio che il tempo ha una direzione precisa. Nel mondo fisico non succede che un sistema che si trova in uno stato probabile evolva spontaneamente verso uno stato di bassa o bassissima probabilità. Per meglio dire: un’evoluzione di questo tipo non è fisicamente impossibile, ma è… molto improbabile.

Nel caso dell’uovo, ad esempio, gli stati possibili che corrispondono al concetto di uovo intero sono numerosissimi: l’uovo potrebbe essere più o meno “a punta”, o presentare irregolarità di qualsiasi natura sul suo guscio essendo composto dagli stessi atomi; tuttavia le disposizioni degli atomi che corrispondono al concetto di uovo rotto sono enormemente di più: basta pensare che lo stesso uovo si può rompere in miliardi di miliardi di modi diversi! In sostanza,  qualsiasi uovo intero corrisponde a una disposizione degli atomi molto improbabile rispetto a qualsiasi uovo rotto, e questo è ciò che ci permette di riconoscere il passato e il futuro quando lo vediamo cadere.

I fisici parlano di stato di equilibrio per intendere lo stato che un sistema assume dopo che ha raggiunto il suo massimo livello di probabilità[3]. L’equilibrio termodinamico è quella cosa a cui arriviamo quando versiamo dell’acqua calda in un bicchiere pieno a metà di acqua fredda: un bicchiere pieno di acqua tiepida. Da quel momento in poi non capita mai che l’acqua torni a separarsi in calda e fredda; non perché questo sia impossibile, ma perché è molto, molto improbabile. Il secondo principio della termodinamica afferma in sostanza che perché una macchina termica possa funzionare, è necessario che sfrutti uno stato di disequilibrio. Questo stato di disequilibrio tende naturalmente a sparire, perché i sistemi tendono spontaneamente a evolvere verso stati di massima probabilità: nel linguaggio della termodinamica, l’entropia (si potrebbe dire, il grado di disordine) dei sistemi tende sempre ad aumentare. Questo è il motivo per cui Watt aveva bisogno di una camera di condensazione separata: in qualche modo doveva fare in modo che il calore fluisse da un recipiente caldo a uno freddo, cioè doveva tenere continuamente la macchina in uno stato di disequilibrio.

Nel mondo in cui viviamo, dunque,  la differenza tra passato e futuro ci sembra evidente per motivi fisici: siamo talmente circondati da sistemi lontani dall’equilibrio termodinamico, che la direzione del tempo ci appare sempre in modo manifesto. Vorrei notare che questa freccia del tempo non riguarda i componenti elementari di un sistema fisico, ma solo il sistema nel suo complesso: ciascuna delle monete sul tavolo si limitava ad assumere lo stato di testa o croce in modo casuale, senza manifestare nessuna tendenza a evolvere verso un futuro che le era ignoto. In questo senso, si può dire che la direzione del tempo è un fenomeno emergente (cioè emerge dal comportamento d’insieme delle monete, degli atomi di cui è composto l’uovo, delle molecole nel bicchiere di acqua tiepida).

Questo è un punto che spesso confonde gli studenti che affrontano la termodinamica per la prima volta. Torniamo per un attimo al tavolo con le cento monete. Un’obiezione che si sente fare è la seguente: siamo noi che distinguiamo “testa” e “croce”; ogni specifica disposizione delle monete è probabile quanto qualsiasi altra, dunque la disposizione con cento teste non è in realtà meno probabile di quelle che il sistema assume quando raggiunge l’equilibrio. E’ qui che entra in gioco il concetto di emergenza. La configurazione con cento teste non è di per sé meno probabile di qualsiasi altra; il punto è che una configurazione in cui il numero di teste è cento è molto improbabile: il numero di teste è un dato che riguarda l’intero sistema, non le singole monete, cioè è un aspetto emergente[4].

Ludwig Boltzmann è stato lo scienziato che più di ogni altro ha contribuito a chiarire questo aspetto, le cui conseguenze sono così sconvolgenti che alla fine dell’ottocento suscitò, come ho detto, un vasto dissenso nella comunità scientifica. Boltzmann2Il fatto che noi constatiamo con grande evidenza la differenza tra passato e futuro significa che l’intero universo è in disequilibrio, cioè è lontano dalla sua condizione di massima probabilità. Questa condizione, tuttavia, verrà inevitabilmente raggiunta, prima o poi. Si calcola che nell’universo osservabile ci siano circa 1082 atomi. E’ un numero impressionante, tuttavia è un numero finito. In un arco di tempo molto grande (migliaia di  miliardi di anni) ma a sua volta finito, questi atomi dovranno per forza raggiungere uno stato di equilibrio termodinamico. Da quel momento in poi, nulla potrà più accadere: la morte termica dell’universo, prevista da Boltzmann, corrisponderà a uno stato in cui le stelle saranno spente, e niente le potrà mai più riaccendere. L’universo sarà uniformemente riempito da una radiazione indifferenziata; neppure il pensiero potrà più esistere, da nessuna parte, perché pensare (dal punto di vista fisico) implica per forza disporre di energia utilizzabile, dunque usare quegli stati di disequilibrio di cui James Watt per primo comprese la necessità.

C’è un altro risvolto cosmologico della morte termica: se l’entropia (il disordine casuale) aumenta sempre, questo significa che nel passato dell’universo essa era minore di quanto non sia adesso. L’entropia, però, non può essere infinitamente piccola. Lo si capisce bene tornando all’esempio delle monete sul tavolo: il caso in cui presentano tutte la faccia testa ha una probabilità di verificarsi che non può essere ulteriormente diminuita. Dato che il numero di atomi nell’universo che possiamo osservare è finito, la loro configurazione complessiva deve avere assunto uno stato di probabilità minima, e questo implica che l’universo stesso non può essere sempre esistito. Può darsi che in qualche momento, al finito nel passato, esso abbia avuto entropia nulla, ma non ci può essere stato un momento precedente a meno che non si immagini una violazione del secondo principio della termodinamica. Spero di avere trasmesso a chi mi legge la sensazione che una violazione simile sarebbe davvero strana: che un sistema evolva spontaneamente verso uno stato di massima probabilità sembra proprio ovvio[5]. Boltzmann non arrivò a fare questa considerazione, perdendo così l’occasione di essere il primo uomo a postulare il big bang. Va detto che, ai suoi tempi, una simile ipotesi sarebbe sembrata davvero pazzesca.

[1] Non è mai stato appurato se il suicidio di Boltzmann sia stato dovuto alla sua polemica con Ernst Mach, altro grande scienziato e filosofo della scienza. Probabilmente Boltzmann soffriva di un disturbo bipolare, e la sua vita era stata amareggiata dalla morte prematura del figlio primogenito. Certamente le controversie scientifiche ebbero su di lui un effetto devastante.

[2] Leonard Susskind, La guerra dei buchi neri – Adelphi (2009)

[3][3] L’uovo rotto è molto più probabile dell’uovo intero, ma resta comunque un oggetto di bassissima probabilità. Qualcuno pulirà il pavimento, getterà gli avanzi in uno scarico e le molecole dell’ex uovo intero finiranno col mescolarsi in modo inestricabile con altri miliardi di miliardi di molecole dalle provenienze più disparate. Solo allora la “massima probabilità” sarà stata davvero raggiunta.

[4] Per il lettore che non fosse ancora convinto: immaginiamo di far saltare sul tavolo due dadi. La configurazione in cui entrambi presentano la faccia 1 non è meno probabile di quella in cui il primo dado presenta la faccia 3 e il secondo la faccia 4. Se però consideriamo la distribuzione delle somme, ci accorgiamo che il valore 7 può essere ottenuto in sei modi diversi (1+6, 2+5, 3+4, 4+3, 5+2 e 6+1), mentre il valore 2 può essere ottenuto in un unico modo (quando entrambi i dadi presentano la faccia 1). In altre parole, il totale 7 è sei volte più probabile del totale 2. D’altra parte, il totale è un attributo dell’intera configurazione, non dei singoli dadi: si tratta di un aspetto emergente.

[5] Un sistema può evolvere verso un macro stato di bassa probabilità solo se i micro stati associati sono irreversibili. Questo, come si è detto, non è vero nel mondo fisico, ma è vero in altri casi. Ad esempio l’evoluzione complessiva delle specie viventi tende a creare situazioni improbabili (si pensi, ad esempio, alla formazione dell’occhio nei vertebrati o negli artopodi), che si spiega, come fenomeno statistico, pensando all’irreversibilità dell’evoluzione stessa: la nascita o l’estinzione di una specie sono eventi da cui non si può “tornare indietro”. Questa irreversibilità dei fenomeni di base è quello che permette l’”accumulo di improbabilità” che alla fine ha portato alla formazione degli occhi (o di altri organi).